martes, 12 de junio de 2012

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

 

 



Definición de función de distribución


Dada una variable aleatoria \scriptstyle X, su función de distribución, \scriptstyle F_X(x), es



F_X(x) = P( X \le x ).



Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice \scriptstyle X y se escribe, simplemente, \scriptstyle F(x).

 
Distribuciones de variable discreta

 

Gráfica de distribución binomial.



Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde -\infty hasta el valor x.

Distribuciones de variable discreta más importantes


Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:
  • Distribución binomial
  • Distribución binomial negativa
  • Distribución Poisson
  • Distribución geométrica
  • Distribución hipergeométrica
  • Distribución de Bernoulli
  • Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.
  • Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

Distribuciones de variable continua




Distribución normal.


Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt


una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

 


 

 Definición de variable aleatoria
Informalmente una variable es aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque si se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles.

Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cual de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorios en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

 

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.


X:\Omega\to \mathbb R


La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.

Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal{A}, P) y un espacio medible (S, \Sigma), una aplicación X: \Omega \longrightarrow S es una variable aleatoria si es una aplicación \mathcal{A},\Sigma-medible.

En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de \mathbb{R}), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad (\Omega,\mathcal{A},P) una variable aleatoria real es cualquier función \mathcal{A}/\mathcal{B}(\mathbb R)-medible donde \mathcal{B}(\mathbb R) es la σ-álgebra boreliana.

 


 

Caracterización de variables aleatorias



 Tipos de variables aleatorias

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.
  • Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía
  • Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.
  • Variable aleatoria independiente: Supongamos que "X" e "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = y son variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y).
De manera equivalente: f(x,y) = f1(x).f2(y).
Inversamente, si para todo "x" e "y" la función de probabilidad conjunta f(x,y) no puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" por una función de "y" (denominadas funciones de probabilidad marginal de "X" e "Y" ), entonces "X" e "Y" son dependientes.
Si "X" e "Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables aleatorias independientes si los eventos "X ≤ x", e "Y ≤ y" y son eventos independientes para todo "x" e "y" .
De manera equivalente: F(x,y) = F1(x).F2(y), donde F1(x) y F2(y) son las funciones de distribución (marginal) de "X" e "Y" respectivamente.
Inversamente, "X" e "Y" son variables aleatorias dependientes si para todo "x" e "y" su función de distribución conjunta F(x,y) no puede expresarse como el producto de las funciones de distribución marginales de "X" e "Y".
Para variables aleatorias independientes continuas, también es cierto que la función de densidad conjunta f(x,y)es el producto de las funciones densidad de probabilidad marginales de "X", f1(x), y de "Y", f2(y).


 


 Funciones de variables aleatorias


Sea una variable aleatoria X,\! sobre \Omega \,\! y una función medible de Borel g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, entonces Y = g(X)\,\! será también una variable aleatoria sobre \Omega\,\! , dado que la composición de funciones medibles también es medible a no ser que g sea una función medible de Lebesgue. El mismo procedimiento que permite ir de un espacio de probabilidad (\Omega, P)\,\! a (\mathbb{R}, dF_{X}) puede ser utilizado para obtener la distribución de Y\,\! . La función de probabilidad acumulada de Y\,\! es


F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \le y).

Si la función g es invertible, es decir g-1 existe, y es monótona creciente, entonces la anterior relación puede ser extendida para obtener

F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \le y) = \operatorname{P}(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))

y, trabajando de nuevo bajo las mismas hipótesis de invertibilidad de g y asumiendo además diferenciabilidad, podemos hallar la relación entre las funciones de densidad de probabilidad al diferenciar ambos términos respecto de y, obteniendo
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right| .

Si g no es invertible pero cada y tiene un número finito de raíces, entonces la relación previa con la función de densidad de probabilidad puede generalizarse como
f_Y(y) = \sum_{i} f_X(g_{i}^{-1}(y)) \left| \frac{d g_{i}^{-1}(y)}{d y} \right|

donde xi = gi-1(y). Las fórmulas de densidad no requieren que g sea creciente.


Distribución binomial

 
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<>
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Distribución binomial


Función de probabilidad
Función de distribución acumulada
Función de distribución de probabilidad
n \geq 0 número de ensayos
0\leq p \leq 1 probabilidad de éxito




La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

X \sim B(n, p)\,
\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

 

 

 
siendo \!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\! las combinaciones de n \,\! en x \,\! (n \,\! elementos tomados de x \,\! en x \,\!)

  

Relaciones con otras variables aleatorias

 

Si n tiende a infinito y p es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a \lambda \,\!, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro \lambda.
Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que n \geq 30 ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal



Distribución de Poisson
Plot of the Poisson PMF
El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

Distribución normal


Distribución normal
Normal distribution pdf.png
La línea verde corresponde a la distribución normal estándar
Función de densidad de probabilidad

La distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico.

 Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

 

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

 

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
 

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